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A-Level高数纯数满分备考指南

来源:原创   发布人:学通四老师   发布时间:2018-07-19

  CIE考试局A-Level高数paper2满分备考指南分享,希望同学注意一下文中提到的知识点。

  1.Vectors

  P3的延伸。对于点到线,点到面以及线到线的距离,由于公式比较复杂,强烈推荐拉垂线做。另外大家要知道两个向量叉乘的模是他们围成的平行四边形的面积,这样可以快速求出三角形的面积。

  2.Roots of Polynomials

  S2的公式需要记住,其他所有都可以自行推出。

  在计算的时候注意有些项的系数可能为0,比如x^3+x+1=0三个根的和其实为0。

  3.Induction

  P(n), BC, IS和Conclusion是必须要写的,此外n的范围也需要注明。

  4.Summation

  这一题是不能错的,因为求和可以验算,把做出来的解带不同的n进去试一下确保正确即可。

  另外如果知道Sn 要会求Ur : Un + Sn-1 = Sn

  5.Graph

  在写渐近线的时候必须写清名字。比如 Oblique asymptote: y = x-2。

  如果分子的最高次数小于分母,不要忘记Horizontal asymptote y=0。

  画图的时候坐标轴越大越好,有几条渐近线图形就有几个区域。

  y的取值范围不要用求导做,分母乘到左边用x的quadratic做即可。

  6.Polar Coordinates

  画图的时候注意tangent at the pole.比如r=θ和θ = 0相切,同时不要忘记对称性。

  离initial line最远/最近的距离:dy/dθ = 0

  离θ=pi/2 最远/最近的距离: dx/dθ = 0

  离pole最近/最远的距离:dr/dθ = 0

  不要忘记polar和cartesian的互相转化,他们的图像是一样的。

  7.Reduction Formula

  单个function做基本都是乘1,出现1+x^2的那基本会考(1+x^2-1),注意题目show that是In-1还是In+1,这样可以确定哪个作为u哪个作为v。

  8.Integration

  这章公式比较多大家一定要记住!Parametric的积分把dx换成dx/dt * dt不要忘记把x的上下限换成t的上下限,另外两个centroids也是同理。最后P1里的volume也是考试的考点,大家不要忘记。

  9.Second order differentiation

  Parametric function求二导的公式需要记住。

  10.ODE

  如果yp是yc的一部分,那需要把yp变成xyp。

  而如果涉及到transformation of varibles,写解的时候需要注意varibale是t还是x。

  如果有时间的话,把求出来的解带回原式进行验算。

  11.Complex Numbers

  De Moivre's Theroem化简式子之后带不同的θ值进行验算,这一块很容易出差错。

  求和题中,等比数列求和比较容易。而如果出现binomial coefficient那必然是binomial expansion,需要知道(1+z)的modulus和argument怎么计算,常考的化简:sinx/(1+/-cosx)。

  a问求和是cos而b问求和是sin,考虑一下求导的可能性。

  Roots of complex numbers中,先把右边写成re^θi 的形式再去求解,不要死记公式。

  Roots of unity里,需要知道如何求quadratic factor.

  例子:z^5=1,(z-z1)(z-z4)就是一个quadratic factor因为z1和z4 互为complex conjugate,同理(z-z2)(z-z3)也是。

  12.Linear Algebra

  Eigenvalue的验算方法:和是trace,积是determinant

  A^-1的eigenvalue是λ^-1的验证方法:Ae=λe, A^-1Ae=A^-1λe, λ^-1e=A^-1e,其余验证eigenvalue都只需要在matrix后乘e即可。

  Ax=b有唯一解《=》A is non-singular 《=》A is invertible 《=》A^-1 exists

  Ax=b有无数解:Ax0=0, Ax1=b, x=x0+x1;通常x1题目会告知,若没有告知需要看range space里basis的linear combination的系数。

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